Wednesday, October 19, 2005

Investigación de Matemática



INTRODUCCIÓN

schule03.gif (11913 bytes)Al visitar la ciudad de Sechura, nos encontramos con una variedad de cuerpos y sólidos geométricos, específicamente en una de las fábricas explotadoras de fosfatos. Encontramos cilindros donde se almacenaba los residuos del proceso de industrialización, encontramos con conos, que pertenecían a la maquinaria con la que se extraían los fosfatos, etc.

Pero además de eso, también encontramos varios tipos de medidas, como las áreas, los perímetros y además de ellos los trabajadores de ese ligar, trabajaban con segmentos, los cuales los representaban con intervalos. Pues bien, esta es la razón por la cual hemos decidido y creído conveniente, trabajar todos estos temas, ya que se encuentran estrechamente unidos y ligados a nuestra región.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1. ¿QUÉ SON EXPONENTES, RAÍCES Y RADICALES?

A) POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE ENTERO

Una potencia de base real es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base y el exponente entero es el número que indica cuantas vece hemos de multiplicar la base. Por ejemplo:

  • 23 *En este caso la potencia de base real es dos al cubo. La base es 2 y el exponente real es 3, que indica cuantas veces vamos a multiplicar el 2 por sí mismo, en este caso tres veces.
  • 32 *En este caso la potencia es tres al cuadrado. La base es 3 y el exponente real es 2, lo que nos indica cuantas veces vamos a multiplicar el tres por sí mismo, en este caso dos veces.

POTENCIA DE EXPONENTE CERO:


Si a es un número real distinto de cero, se define:

.

a0 = 1

Entonces podemos decir que todo número real diferente a 0, elevado a cero va hacer igual a 1.

B) ECUACIONES EXPOTENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella que se caracteriza porque se basa en la siguuiente propiedad:

Una ecuación exponencial también la podemos definir como una ecuación en las que en algún miembro aparace una expesión exponencial ( potencia de base constante y exponente variable).

Si 2a = 2b entonces a = b


PROPIEDAD: Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales sí y sólo sí, son iguales sus exponentes.

Las ecuaciones expotenciales se puden resolver por varios métodos, entre ellos tenemos:

  • POR REDUCCIÓN O IGUAL BASE: Muchas ecuaciones exponenciales se resuelven por el método de reducción de ambos miembros de la ecuación a una misma base.

ejemplo.gif (1084 bytes)

  • POR CAMBIO DE VARIABLE:


ejemplo.gif (1084 bytes)
Aplicamos cambio de variable



  • APLICANDO LAS PROPIEDAD DE LAS POTENCIAS:


ejemplo.gif (1084 bytes)
Aplicamos las propiedades de las potencias



C) RAÍCES DE NÚMEROS REALES

Cuando hablamos de la raíz de números reales, nos referimos a una operación inversa a lo que significa la potenciación. Veamos:

En general se define la raíz cuadrada de un número a como otro número b tal que bn = a Y escribimos:



El número a se llama radicando y en número n, índice. Por ejemplo:



"Se define a la raíz enésima de a y se denota $a^{1 \over n}, $ como el número real positivo $b$ que cumple la igualda: $b^n \; = \; a.$

\begin{displaymath}\displaystyle{ a^{ \displaystyle{ 1 \over n} }} \; = \; b \; \Longleftrightarrow ;\ b^n \; = \;
a\end{displaymath}

Como hemosa dicho, la radicación de número reales es una oiperación inversa a la radicación , la cual la comprenderemos mejor, mediante los siguientes ejemplos:

ejemplo.gif (1084 bytes)

a.) $\;\; \displaystyle{ 8^{1\over3}\;=\;2} $ pues $ \displaystyle{ 2^3\;=\;8} $; en este caso decimos que $2$ es la raíz cúbica de $8$

b.) $\;\; \displaystyle{ 625^{1\over4}\;=\;5} $ pues $ \displaystyle{ 5^4\;=\;625} ;$ en este caso decimos que $5$ es la raíz cuarta de $625$

c.) $\;\; \displaystyle{ 49^{1\over2}\;=\;7} $ pues $ \displaystyle{ 7^2\;=\;49} ;$ en este caso decimos que $7$ es la raíz cuadrada de $49$

Entonces, como conclsuión final de la raíz de radicales, podemos mencionar lo siguiente:

Sea $a \in I \!\! R,\;\; a \geq 0,\;\; n \in I \!\! N,\;\;
n \geq 1 $

DENOTACIÓN DE RAÍCES DE NÚMEROS REALES:

La raíz enésima de $a$ también se denota $ \displaystyle{ \sqrt[n]{a}} $ es decir:

$ \displaystyle{ a^{1 \over n} = \sqrt[n]{a}} $

Entonces podemos decir que una raíz de númros reales se pude representar de las dos formas antes vistas. Veamos ejemplo:

ejemplo.gif (1084 bytes)

a.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[2]{121} \; = \; 11 } $ pues $\; \displaystyle{ 11^2 = 121} $

b.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[5]{32} \; = \; 2 } $ pues $\; \displaystyle{ 2^5 = 32} $

c.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{343} \; = \; 7 } $ pues $\; \displaystyle{ 7^3 = 343} $

D) RADICACIÓN ALGEBRÁICA

Clasificación de Radicales:

Los radicales se pueden clasificar de acuerdo a dos criterios principales:

SEGÚN LA NATURALEZA DE SUS RADICALES:

  • Racionales: Son aquellos de cuya cantidad subradical se puede extraer una cantidad exacta.
  • Irracionales: Son aquellos de cuya cantidad subradical no se pude extraer una cantidad exacta.

Propiedades de los Radicales:

Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.

  1. Primera Propiedad: si se multiplica tanto el exponente que posee la cantidad subradical como el índice, la raíz no se ve afectada de ninguna manera.
  2. Segunda Propiedad: si se divide el exponente y el índice de la raíz por un mismo número,la cantidad subradical, tampoco varía.
  3. Tercera Propiedad: Cuando el exponente el índice de la raíz es par y la cantidad subradical es (-) negativa, simplemente la raíz pertenece al conjunto de los números imaginarios.
  4. Cuarta Propiedad: Cuando el índice de la raíz es impar y la cantidad subradical es (-), simplemente la raíz es negativa.

Raíz de un producto, de un cociente y de una potencia

  • Raíz de un producto:Esta propiedad de la radicación, la podemos representar de la siguiente manera:

$\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a}} $$ \displaystyle{ \sqrt[n]{b}\;} $

$ \displaystyle{ \sqrt[n]{a \cdot b} \; = \; \sqrt[n]{a}} \cdot \sqrt[n]{b}$

Por lo que observamos podemos deducir y enunciar la propiedad:

*LA RAÍZ "n" DE UN PRODUCTO ES IGUAL AL PRODUUCTO DE LA RAÍZ DE CADA UNO DE SUS FACTORES.

  • Raíz de un cociente: esta propiedad de la radicación es similar a la anterior, con la diferencia que se trata o estamos hablando de cocientes. Veamos:$\; \displaystyle{ \sqrt[n]{a}} \;$$\; \displaystyle{ \sqrt[n]{b}} $

$ \displaystyle{ \sqrt[n]{a \over b} \; = \; {\sqrt[n]{a}
\over \sqrt[n]{b}}} $

Por lo que observamos podemos deducir y enunciar la propiedad:

*LA RAÍZ "n" DE UN COCIENTE, ES IGUAL A LA RAÍZ CUADRADA DEL DIVIDENDO, ENTRE LA RAÍZ CUADRADA DEL DIVISOR

  • Raíz de una potencia: cuando hablamos de la raíz de una potencia nos estamos refiriendo, a una operación algebráica en la que la cantidad subradical se encuentra elevada a un exponente real. Veamos:

*Dicho lo anterior, veamos un ejemplo práctico:

*SI AL ÍNDICE Y EL EXPONENTE SE LE MULTIPLICA POR UN MISMO NÚMERO, DICHA RAÍZ NO VARÍA.

Exponente fraccionario:

Cuando hablamos de una potencia con exponente fraccionario, nos estamos refiriendo a una potencia en la cual, el exponente es un número racional.

* $\; \displaystyle{ \sqrt[m]{a}} \;$representa un número real, entonces se cumple que: \begin{displaymath}\displaystyle{ \sqrt[m]{a^n}\;=\;a^{n \over m} } \end{displaymath} ............y......... \begin{displaymath}\displaystyle{ \left(\sqrt[m]{a}\right)^n\;=\;a^{n \over m}} \end{displaymath}.

Para comprender mejor, veamos algunos ejemplos:

a.)$\;\; \displaystyle{ \sqrt[3]{5^2}} $=

$ \displaystyle{ 5^{2 \over 3}} $

b.) $\;\; \displaystyle{ \left(\sqrt[6]{3}\right)^7} $ = $ \displaystyle{ 3^{7 \over 6}} $

c.) $\;\; \displaystyle{ \sqrt{4^3}} $ = $ \displaystyle{ 4^{3 \over 2}} $

d.) $\;\; \displaystyle{ \left(\sqrt[5]{2}\right)^3} $ = $ \displaystyle{ 2^{3 \over 5}} $

Reducción de Radicales

Para reducir dos o más radicales al índice común, , se hall primero el (M.C.M), y de los índices, este resultado es el índice común, luego se divide este valor entre el índice de cada radical y el cociente se multiplica por la cantidad subradical.

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

Simplificación de Radicales:

Simplificar un radical es reducirlo a su mínima exprsión, dividiendo el índice del radical y los exponentes del subradical de un mismo número, por medio del máximo común divisor. (M.C.D) de ellos.

*Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice

Para simplificar radicales se procede de la siguiente manera:

  1. Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores.
  2. La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean
    potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice
  3. La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz.

Ejemplos:

MathType 5.0 Equation

*Cuando la cantidad subradical es un fracción:

Para simplicar radicales de este tipo, se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores.
  2. La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean
    potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice
  3. La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz
  4. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la cantidad necesaria que haga que el denominador tenga raíz exacta.

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

*Cuando la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.

  1. Se expresan los coeficientes numéricos en potencias de sus factores primos.
  2. Se expresa la raíz como un producto de potencias (escribiendo las potencias con exponentes fraccionarios cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y cuyo denominador es el índice de la raíz)
  3. Se simplifican los exponentes
  4. Se transforma la potencia en su equivalente radical

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation



E) OPERACION CON RADICALES: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE RADICAES.

SUMA Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

Para sumar radicales, se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Se simplifican los radicales.
  2. Se reducen los radicales que son semejantes, es decir aquellos que poseen una misma cantidad subradical y un mismo índice y exponente.
  3. Los radicales que no son semejantes se escriben con su propio signo, y se dejan indicados.

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

MULTIPLICACIÓN RADICALES (SIMPLES)

Para la multiplicación de radicales, se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Se multilplican los coeficientes entre sí
  2. Se multiplican las cantidades subradicales entre sí
  3. Se simplifica

Veamos, ejemplos:

MathType 5.0 Equation

(COMPPUESTOS)

Para la multiplicación de radicales compuestos:

  1. Se escriben los factores entre paréntesis
  2. Se efectúan las operaciones indicadas, mutiplicando cada término de un paréntesis por todos los términos del otro paréntesis
  3. Para multiplicar dos radicales del mismo índice se efectúa el produco bajo el mismo signo radical común
  4. Se sacan los factores del signo radical, dividiendo los exponentes respectivos por el índice de la raíz
  5. Se reducen los radicales semejantes .

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

DIVISIÓN DE RADICALES

*Cuando son del mismo índice:



Para la división de radicales, se siguen el siguientes procedimiento:

  1. Se dividen los coeficientes entre sí
  2. Se dividen las cantidades subradicales entre sí
  3. Se simplifica

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

*Cuando tienen distinto índice:

  1. Se reducen los radicales al mínimo común índice siguiendo los pasos a a d
    a. Se halla el M.C.M. de los índices, éste será el índice común
    b. Se divide el índice común, hallado en 1, entre el índice de la raíz
    c. Se escribe cada cantidad subradical, elevada a un exponente igual al cociente hallado en 2, dentro de un radical con el índice común
    d. Cuando uno de los radicales tiene, coincidencialmente, el mismo índice que el índice común, obviamente, se deja tal cual
    Nota: la notación que utilizo para escribir el M.C.M. (mínimo común múltiplo] es [a, b, ...] = a
  2. Se dividen como radicales del mismo índice:
    a. Se dividen los coeficientes entre sí
    b. Se dividen las cantidades subradicales entre sí
    c Se simplifica.

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

POTENCIACIACIÓN DE RADICALES

La potenciación es un operación contraria completamente a la radicación. Para hacerlo tenemos que seguir el siguiente procedimiento:

  1. Se eleva el coeficiente a la potencia dada
  2. Se eleva la cantidad subradical a la potencia
  3. Se simplifica.

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

RADICACIÓN DE RADICALES

La radiación de radicales, es un operación contraria a la potenciación, y para realizarla se sigue el siguiente procedimiento:

  1. Se multiplican entre sí los índices de las raíces
  2. Se escribe la cantidad subradical bajo una sola raíz cuyo índice es el producto hallada en el paso anterior
  3. Se simplifica

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

F) RACIONALIZACIÓN DE RADICALES EN EL DENOMINADOR

La racionalización es un procedimiento que se emplea con el fin de que en ningún denominador de la expresión, quede una expresión radical.

  • Cuando el denominador es un monomio:

Cuando este es el caso, se sigue este procedimiento:

  1. Se multiplican los dos términos de la fracción por un radical, del mismo índice de la raíz en el denominador, que multiplicado por éste se elimine el signo radical
  2. Se simplifica

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

  • Cuando el denominador es un expresión conjugada.

Cuando nos encontramos frente a este caso, lo que haremos será lo siguiente:

  1. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador
  2. Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades ...
  3. Se reduce y se simplifica

Veamos algunos ejemplos:

MathType 5.0 Equation

G) RADICALES SIMPLES Y COMPUESTOS: Cuando hablamos de radicales simples y compuestos nos estamos refiriendo, a dos expresiones que pueden estar afectadas por la operación de adición y sustración, pero los más importante, es que se encuentran, bajo signos radicales. Lo que se quiere, es dejar dicha operación, en radicales, simples, para lo que se siguen los siguientes pasos, mediante un ejemplo:

MathType 5.0 Equation

CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

  1. Autor: Enciclopedia GEOCITES. Fue consultada el día 22/10/05. Disponible en la web: http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm

  2. Autor: Unidad I Conceptos Básicos. Fue consultada el día 22/10/05. Dsiponible en la web: http://docentes.uacj.mx/gtapia/Moderna/Contenido/Unidad%20I/LEYES%20DE%20EXPONENTES.htm

  3. Autor: Enciclopedia DESCARTES. Fue consultada el día 22/10/05. Dsiponible en la web: http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Radicales/radicales1.htm

  4. Autor: Enciclopedia MONOGRAFÍAS. Fue consultada el día 22/10/05. Dsiponible en la web: http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml

  5. Fue consultada el día 22/10/05. Disponible en la web: http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm

  6. Autor: Enciclopedia ya.com. Fue consultada el día 22/10/05. isponible en la web: http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb05.htm#326

  7. Fue consultada el día. Disponible en la web: http://ciencias.bc.inter.edu/smejias/algebra/conferencias/propsexpon.htm

  8. Consultada el día. Disponible en la web: http://ciencias.bc.inter.edu/smejias/algebra/conferencias/radicales.htm

  9. Autor: Matematica Básica Recurso Virtual. consultada el día. Disponible en la web: http://fsf.escuelaing.edu.co/bsarmien/cvirtual/cap1p2.htm

2. NÚMEROS REALES

Conmutativa de adición

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.



Commutativa de multiplicación



Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

Asociativa de adición:

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.



Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Asociativa de multiplicación:



Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

Distributiva de multiplicaciónsobre adición:



Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9



Propiedades de los números reales en la adición:

Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma esta propiedad se cumple para cualquiera que sena los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la adición.


Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad asociativa de la adición. En general

Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición.

POROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES EN LA SUSTRACCIÓN

la sustracción es la operación inversa a la adición. En la adición se busca uno de los sumandos de una suma dada por ejemplo:

POPIEDADES DE LA MULTIPPLICACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES:

Conmutativa: En la multiplicación de números racionales del orden de los factores no altera el producto. Es decir:

a.b es igual a decir b.a

b.-) Asociativa: en la multiplicación de los números racionales la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir:

Distributividad: al multiplicar un número racional por una suma indicada se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por cada sumando, luego sumamos. Es decir:

Redondeo

Normalmente sólo nos interesará elegir la aproximación más cercana al valor real con el fin de cometer un error mínimo.

Consideremos un cuadrado de lado 2. La medida de su diagonal viene dada

por el número = 2'828427125..........., de infinitas cifras decimales.

Llamamos redondeo de un orden determinado a la aproximación de dicho orden más cercana al número exacto.

De esta manera, el redondeo a unidades será 3, a décimas 2'8, a centésimas 2'83, a milésimas 2'828, a diezmilésimas 2'8284, etc.

FUNCION VALOR-ABSOLUTO

La funcion valor absoluto esta definida de la siguiente manera:

'Aplicaciones matemáticas'

Graficamente la función IxI es

'Aplicaciones matemáticas'

Si x es positivo no afecta la función en el número

Si x es negativo la función "lleva al numero" a su inverso aditivo

El valor absoluto de un número real nunca es negativo

Al valor absoluto de un número también se le denomina Módulo

Antes de resolver algunos ejercicios veamos algunas propiedades básicas del valor absoluto. Es claro que la definición de valor absoluto que

'Aplicaciones matemáticas'


Las propiedades son las siguentes:

INTERVALOS:

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se denominan extremos del intervalo.
También se llama intervalo al segmento determinado por los puntos
a y b.

El intervalo abierto no incluye a los extremos (se representa con paréntesis).
El intervalo cerrado
incluye a los extremos [se representa con corchetes]
.
Naturalmente también pueden definirse intrevalos semiabiertos o semicerrados, que estén abiertos por un extremo y cerrados por el otro.

CITAS Y REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS:

  1. Autor: CELP ( Curso se linea precalculo) Sección básica1. Fue consultada el día 21/10/05 http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec1/cap1.html#propiedades
  2. Autor: Enciclopedia Monografías. Fue cpnsulatda el día 22/10/05 http://www.monografias.com/trabajos15/numeros-irracionales/numerosirracionales.shtml#CONJUNTO
  3. Fue cosultada el día 22/10/05. ttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/decimales/numerosdecimales.htm
  4. Autor: EnciclopediaRincon del Vago.Fue cosultada el día 22/10/05. http://html.rincondelvago.com/aplicaciones-matematicas.html
  5. Autor: Matematica Básica Recurso Virtual Fue cosultada el día 22/10/05. http://fsf.escuelaing.edu.co/bsarmien/cvirtual/cap1p1.htm



3 ¿ CÓMO CALCULO EL ÁREA Y PERÍMETRO DE LAS DISTINTAS FIGURAS GEOMÉTRICAS?

a) CUADRADO

Para hallar el área del cuadrado tenemos que tener en cuenta la siguiente fórmula:

L * L = LADO POR LADO

Ejemplo:

El Area de cuadrado L = 4 es : A = 16Cm2



PERÍMETRO DEL CUADRADO


El perimetro del cuadrado es la suma de los cuatro lados.



B) RECTÁNGULO

Para hallar el area del Rectangulo aplicamos la siguiente regla:

L (base)* h (altura) mejor dicho se multiplica la base por la altura

Ejemplo:



Area del Rectangulo (L) 4 por la altura 10 ==> 4 . 10 = 40

En este caso el area del rectangulo es 40.





PERIMETRO DEL RECTANGULO

El permitero del rectangulo es el: LADO MENOR MÁS EL MENOR Y POR DOS.



C) TRIÁNGULO

Para resover la area del triangulo tenemos en cuenta la siguiente regla:

Ejemplo:

En el siguiente triangulo su base es 12 y su altura es 2 calcula su area:

Mediante la regla aplicamos:



Base (l) por altura (h) todo sobre dos (2)

El PERIMETRO DEL TRIANGULO: ES LA SUMA DEL LADO 1 MAS EL LADO 2 MAS EL LADO3

d) PARALELOGRAMO



Observa que en la siguiente figura, si recortamos paralelogramo ABCD el triángulo ABM y lo colocamos a la derecha del lado CD obtenemos el rectángulo MBCN que tiene la misma superficie que el paralelogramo original. Por tanto,

el área de un paralelogramo cualquiera es A = base * altura

EL PERIMETRO DEL PARALELOGRAMOS ES IGUAL A LA SUMA DE SUS LADOS

e) TRAPECIO

El área de un trapecio de bases B y b y altura es semejante a la semisuma de las bases por la altura.

EL PERIMETRO DEL TRAPECIO:

El perimetro de un trapecio escaleno es a + b + c+ +d .

El perimetro de un trapecio isoscelis es 2b + a + c

El perimetro de un trapezoide es a+ b + c+ d



f) ROMBO

Para hallar el area de un rombo es:

Donde D y d son las medidas de las dos diagonales del rombo.



rombo.gif (2925 bytes)

EL PERIMETRO DEL ROMBO ES IGUAL A LA SUMA DE SUS LADOS

g) PENTÁGONO

El área deun pentágono es igual al perímetro por la apotema todo sobre dos.

Área del pentágono = (perímetro.apotema) / 2

Derrepente, nos parecerá extraño escuchar el término apotema, pues bien, el apotema es " la perpendicular trazada del centro de un polígono regular a uno de sus lados. Altura de las caras triangulares de una pirámide regular."

Perímetro de un Pentagono:

El lado del pentagono es c
El perímetro de un pentágono es c + c + c + c + c = 5 · c

h) Hexágono



El área deun hexágono es igual al perímetro por la apotema todo sobre dos.

Área del hexágono = (perímetro.apotema) / 2

EL PERIMETRO DEL ROMBO ES IGUAL A LA SUMA DE SUS LADOS

i) CÍRCULO



No olvidemos que circunferencia es la línea curva cerrada en la que cada punto equidista de otro llamado centro. En cambio circulo es la región interior de la circunferencia. Es al círculo al que se le calcula el área.

También debemos utilizar la magnitud , siendo su fórmula:

y r= radio de la circunferencia.

Si queremos saber el área del círculo anterior aplicamos la fórmula:

Perímetro de un círculo:
El perímetro de un círculo es 2r

CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS


4. ¿ COMO CALCULO EL VOLUMEN, ÁREA LATERAL Y TOTAL DE LOS DIFERENTES SOLIDOS?

A) CUBO
B) PARALEPIPEDO
C) PRISMAS
D) PIRÁMIDES
E) CILINDRO
F) CONO
G) ESFERA

EL VOLUMEN DE UN CUBO:
Primeramente un cubo es un cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vertice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.
El VOLUMEN de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como podrán ver en la siguiente figura. Su la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a 3 su arista.



Vcubo = (3cm)3 = 33 cm3 = 24 cm3









PARA HALLAR SU AREA LATERAL
se emplea la siguiente fórmula:
AREA LATERAL = 4.arista elvada al cuadrado.


PARA HALLAR EL AREA TOTAL
se emple la siguiente fórmula:
AREA TOTAL = 6. arista elevada al cuadrado.


EL VOLUMEN D UN PARALEPÍPEDO
:
Un paralepípedo es un sólido de sesi caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas ( caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras perpendiculares a la altura del cuerpo entonces se le denomina parelepípedo recto, en caso contrario se le llama paralepípedo oblicuo.

EL VOLUMEN DEL PARALEPÍPEDO RECTO se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice.

Por ejemplo:

Si las aristas de un paralepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2.3.6:





Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:





El volumen a · b · c de un paralelepípedo recto se puede también definir como el producto del área de la cara basal a · b por la altura c, es decir:

V = (a · b ) · c = a · b · c







FORMULA PARA HALLAR EL VOLUMEN DE UN PARALEPIPEDO OBLICUO
varía respecto al del paralelepípedo recto sólo en que la altura debe medirse en la perpendicular levantada desde el plano que contiene a base inferior hasta algún punto de la base superior, como muestra la línea roja en la figura adjunta.

Si las aristas de un paralelepípedo oblicuo son 2, 3 y 4 cm (como muestra la figura adjunta) entonces su volu­men se obtiene multiplicando el área de la base (2 · 3 = 6) por la altura del mismo (6 · 4 = 24), es decir:







Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepípedo miden a y b, y su altura mide h entonces su volumen se calcula a través de la fórmula del paralelepípedo recto:





El volumen a · b · h de un paralelepípedo oblicuo de aristas basales a, b y altura h también se puede definir como el producto del área de la cara basal a · b por la altura h, es decir,

V = (a · b ) · h = a · b · h














Volumen del Prisma:

Es igual al área del poligono de la base multiplicando por la altura (h) del prisma.

V= Ab.h

AREA LATERAL:

Es igual al perimetro del polígono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma.

AL = P.h

AREA TOTAL:

Es igual al área lateral mas el área de los polígonos de las 2 bases)

AT = AL + 2.ab

Prisma regular















VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE:

El volumen de la Piramide se halla mediante la fórmula:

La Area de la base por la altura sobre tres.

AREA LATERAL:

El perímetro de la base.apotema sobre dos.

AREA TOTAL:

El área lateral + área de la base

VOLUMEN DEL CILINDRO:

El volumen del cilindro es el área de la base por la altura.

AREA LATERAL:

El perímetro de la base por la altura.

AREA TOTAL:

EL área lateral + 2.área de la base.

VOLUMEN DEL CONO:

El volumen del cono es igual al área de la base.altura sobre 3.

AREA LATERAL: E s igual al perimetro de la base.generatriz sobre 2

AREA TOTAL:

Es igual área lateral + área de la base

VOLUMEN DE LA ESFERA:

El volumen de una esfera de radio r se obtiene a través de la fórmula:


CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

  1. Autor: Berta Benito Orejas y Juan Carlos Sánchez Melado. Fue consultada el día 22/10/05. Disponible en la Web: http://www.arrakis.es/~bbo/geom/

  2. Autor: Enciclopedia DESCARTES. Fue consultada el día 22/10/05. Disponible en la Web: http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo_2.htm


    Autor: Enciclopedia Virtual ICARITO. Fue consultada el día 22/10/05
    http://icarito.latercera.cl/enc_virtual/matemat/areas/area5.html


    Autor: Enciclopedia EDUCARED. Fue consultada el día 22/10/05
    http://www.educared.cl/e5_area_triangulo.htmhttp://www.math2.org/math/geometry/areasvols.htm

  3. Fue consultada el día 22/10/05
  4. http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm